Solucionario Probabilidad Y Estadistica Walpole 6 Edicion

2. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 deAgosto de 2008Problema 2 (Ref: Pg. 223 - Ej. 9) La vida media deuna mquina para hacer pasta es de siete aos, con una desviacinestndar de un ao. Suponga que las vidas de estas mquinas siguenaproximadamente una distribucin normal, encuentre: a) Laprobabilidad de que la vida media de una muestra aleatoria de nuevede estas mquinas caiga entre 6.4 y 7.2 aos; b) El valor de x a laderecha del cual caera el 15% de las medias calculadas de muestrasaleatorias de tamao nueve. Datos: Variable aleatoria Mediapoblacional Desviacin estndar poblacional Tamao de la muestraX:vida til de una mquina de hacer pasta (en aos). x = 7 aos. x = 1ao. n = 9 mquinas.X ~ N( x , x ) x = x = 7 (aos) 1 1 x = x = = (aos) n 9 3a) Incgnita: P(6.4 x 7.2) Solucin: 6.4 7 X x 7.2 7 P = P(1.8 z 0.6 ) = P( z 0.6 ) P( z 1.8) = x 1 13 3 n Aplicando TablaA.3. = 0.7257 0.0359 = 0.6898 = 68.98%. Respuesta: La probabilidadde que la vida media de una muestra de 9 de esas mquinas caigaentre 6.4 aos y 7.2 aos es del 68.98%. b) Incgnita: Un valor de xque deje a su derecha un rea del 15% y por lo tanto un rea del 85%a su izquierda. Solucin: Con x = 7 aos y = 1 0.15 = 0.85 __Z = Z0.85 = 1.04 Z 0.85_ x 7 1 = (1.04) * + 7 = x = 7.346667 Aos 1 3 3x= 7.35 aosLafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 2 de 1043. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agostode 2008Respuesta: El valor de x que deja a su derecha un rea del15% es 7.35 aos. Problema 3 (Ref: Pg. 223/224 - Ej. 10) El tiempoque el cajero de un banco con servicio en el automvil atiende a uncliente es una variable aleatoria con media = 3.2 minutos y unadesviacin estndar = 1.6 minutos. Si se observa una muestraaleatoria de 64 clientes, encuentre la probabilidad de que sutiempo medio con el cajero sea: a) a lo ms 2.7 minutos; b) ms de3.5 minutos; c) al menos 3.2 minutos pero menos de 3.4 minutos.Datos: Variable aleatoria Media poblacional Desviacin estndarpoblacional Tamao de la muestraX: tiempo que un cajero atiende a uncliente (en minutos). x = 3.2 minutos. x = 1.6 minutos. n = 64clientes.X ~ N( x , x ) x = x = 3.2 (aos) x =x n=1.6 64=1 .6 (aos )8a) Incgnita: P( x 2.7) Solucin: X x 2.7 3.2 P = P( z 2.5) =Aplicando Tabla A.3. = 0.0062 = 0.62% 1.6 x 8 n Respuesta: Laprobabilidad de que el tiempo promedio de los cliente con el cajerosea a lo ms 2.7 minutos es de 0.62%. b) Incgnita: P( x > 3.5)Solucin: X x 3.5 3.2 P > = P( z >1.5) =1 P( z .5) =1 0.9332 =Aplicando Tabla A.3. = 0.0668 = 1.6 x n 64 6.68%. Respuesta: Laprobabilidad de que el tiempo promedio de los cliente con el cajerosea ms 3.5 minutos es de 6.68%. c) Incgnita: P(3.2 x 3.4) Solucin:3.2 3.2 X x 3.4 3.2 P = P( 0 z 1) = P( z 1) P( z 0 ) = x 1.6 1.6 64n 64 Aplicando Tabla A.3 = 0.8413 0.5000 = 0.3413 = 34.13%. LafataDesio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 3 de 104 4. Ctedra:Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de2008Respuesta: La probabilidad de que el tiempo promedio de loscliente con el cajero este entre 3.2 y 3.4 minutos es de 34.13%.Problema 4 (Ref: Pg. 224 - Ej. 12) Se toma una muestra aleatoria detamao 25 de una poblacin normal que tiene una media de 80 y unadesviacin estndar de 5. Una segunda muestra aleatoria de tamao 36se toma de una poblacin normal diferente que tiene una media de 75y una desviacin estndar de 3. Encuentre la probabilidad de que lamedia muestral calculada de las 25 mediciones exceda de mediamuestral calculada de las 36 mediciones por al menos 3.4 pero enmenos de 5.9. Suponga que las medias se miden al dcimo ms cercano.Datos: Tamao de la primer muestra Media de la primer poblacin(n1 =25.)1= 80.Desviacin estndar de la primer poblacinn2 = 36.Media dela segunda poblacin x1 =1 = 5.Tamao de la segunda muestraX 1 ~ N x1, x1 x1 = x1 = 802= 75.(x1n1=5 25=1)X 2 ~ N x 2 , x 2 x 2 = x 2 =75 x2 =Desviacin estndar de la segunda poblacin 2 = 3.x2n2=3 36=12Incgnita: P( 3.4 ( X1 X 2 ) 5.9 ) Solucin: Utilizando el Teorema8.3; el que dice: Si se extraen al azar muestras independientes detamao n 1 y n 2 de dos poblaciones, discreta o continuas, 2 conmedias 1 y 2 y varianzas 1 y 2 , respectivamente, entonces ladistribucin muestral de las 2 diferencias de las medias, X 1 X 2 ,est distribuida aproximadamente de forma normal con media yvarianza dadas por x1 - x1 = 1 2 21 - x 2 = xy2 1 2 + 2. n1 n 2DeaquZ=(X X ) ( ( n ) + ( 122 1112 2 2 ) n2 )es aproximadamente unavariable normal estndar. con nuestros datos:Lafata Desio Fernando,Warlet Ivn LautaroPgina 4 de 104 5. Ctedra: Probabilidad yEstadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008 x1 - x 2 = 80 75= 5 x1 - x 2 =y25 9 + = 1.118 25 36 3.4 X X 5 5 1 2 1 2 5.9 =P( P3.4 X1 X 2 5.9 =P 1.4311 z 0.8050 ) = 1.118034 1.118034 2 2 1 2 + nn 1 2 (())() ()= P(z 0.8050) P( z 1.4311) =Aplicando Tabla A.3. =0.7896 0.0762 = 0.7134 = 71.34%.Respuesta: La probabilidad de quela media muestral calculada de las 25 mediciones exceda de mediamuestral calculada de las 36 mediciones por al menos 3.4 pero enmenos de 5.9 es de 71.34%.Problema 5 (Ref: Pg. 236 - Ej. 1) LafataDesio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 5 de 104 6. Ctedra:Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de2008Para una distribucin ji cuadrada encuentre. 2 a) 0.025 cuando =15; 2 b) 0.01 cuando = 7; 2 c) 0.05 cuando = 24.2 a) Segn Tabla A.50.025 cuando = 15 => 27.488Respuesta: El valor 2 con 15 gradosde libertad, que deja un rea de 0.025 a su derecha es 27.488.Grfica:Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 6 de 104 7.Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de20082 b) Segn Tabla A.5 0.01 cuando = 7 => 18.475Respuesta: Elvalor 2 con 7 grados de libertad, que deja un rea de 0.01 a suderecha es 18.475. Grfica:2 c) Segn Tabla A.5 0.05 cuando = 24=> 36.415Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 7 de 1048. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agostode 2008Respuesta: El valor 2 con 24 grados de libertad, que deja unrea de 0.05 a su derecha es 36.415. Grfica:Problema 6 (Ref: Pg. 236- Ej. 3) Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 8 de 104 9.Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de20082 Para una distribucin ji cuadrada encuentre tal que: 2 a) P(2> ) = 0.99 cuando = 4; 2 b) P(2 > ) = 0.025 cuando = 19; 2 c)P(37.652 < 2 < ) = 0.045 cuando = 25.2 a) P(2 > ) = 0.99cuando = 4 2 Segn Tabla A.5 => = 0.297Respuesta: El valor de 2que deja a su derecha una probabilidad igual a 0.99 es decir 99 %,con 4 grados de libertad es 0.297.2 b) P(2 > ) = 0.025 cuando =19Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 9 de 104 10.Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de20082 Segn Tabla A.5 => = 32.852Respuesta: El valor de 2 quedeja a su derecha una probabilidad igual a 0.025 es decir 2.5 %,con 19 grados de libertad es 32.852. Grfica:Lafata Desio Fernando,Warlet Ivn LautaroPgina 10 de 104 11. Ctedra: Probabilidad yEstadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 20082 c) P(37.652 = 37.652 => = 0.05 22 =>= 0.05 - 0.045 = 0.005 => = 0.005 cuando = 25 2Segn Tabla A. 5=> 0.005 = 46.928 Respuesta: El valor de 2 debe ser igual a46.928 para que la probabilidad entre 37.652 y dicho valorcalculado sea igual a 0.045, es decir 4.5%, con 25 grados delibertad. Grfica:Problema 7 (Ref: Pg. 236 Ej. 5) Lafata DesioFernando, Warlet Ivn LautaroPgina 11 de 104 12. Ctedra:Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de2008Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25observaciones, de una poblacin normal con varianza 2 = 6, tenga unavarianza s2 a) mayor que 9.1; b) entre 3.462 y 10.745. Suponga quelas varianzas muestrales son mediciones continuas. Datos: Tamao dela muestra Varianza de la muestran = 25 observaciones. 2 = 6.a)Incgnita: P (s2 > 9.1) Solucin:2( n 1) s 2 = 2con (n 1) gradosde libertadcon nuestros datos: ( 25 1)( 9.1) = ( 24)( 9.1) = 218.4= 36.4 2 = 6 6 6 Segn Tabla A.5 2 = 36.4 cuando = 24 =>0.05Respuesta: La probabilidad de que la varianza de esa muestra seamayor que 9.1 es del 5%. b) Incgnita: P (3.462 s2 10.745) Solucin:2=( n 1)s 2 2con (n 1) grados de libertadcon nuestros datos: ( 251)( 3.462) = 24 3.462 = 83.088 = 13.848 2 = 6 6 6 2 =13.848 cuando= 24 =>0.95 Segn Tabla A.52 =( 25 1) 10.745 = 24 10.745 = 257.88= 42.986 6 6 Segn Tabla A.5 2 = 42.98 cuando = 24 =>0.01P (3.462s2 10.745) = 0.95 0.01 = 0.94 Respuesta: La probabilidad de que lavarianza de esa muestra se encuentre entre 3.462 y 10.745 es del94%. Problema 8 (Ref: Pg. 236 Ej. 6) Lafata Desio Fernando, WarletIvn LautaroPgina 12 de 104 13. Ctedra: Probabilidad y EstadsticaUADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Las clasificaciones de unexamen de colocacin que se aplic a estudiantes de primer ao delicenciatura durante los ltimos cinco aos estn aproximadamentedistribuidas de forma normal con una media = 74 y una varianza 2 =8. Considerara an que 2 =8 es un valor vlido de la varianza si unamuestra aleatoria de 20 estudiantes que realizan este examen decolocacin este ao obtienen un valor de s2 = 20? Datos: P:estudiantes de primer ao de licenciatura. X: calificacin de unexamen de colocacin. Media poblacional Varianza poblacional Tamaode la muestra Varianza muestralx = 74. 2 = 8. x n = 20 estudiantes.s2 = 20.(X ~ N x = 74, x = 8)Incgnita: Considerar si es vlida 2 = 8x Solucin:2 =( n 1)s 2 2con (n 1) grados de libertadcon nuestrosdatos2 =( 20 1)( 20) = (19)( 20) = 380 = 47.5 82 0..975 = 8.9078820.025 = 32.852Respuesta: Es un valor de una distribucin ji cuadradacon 19 grados de libertad. Como 95% de los valores 2 con 19 gradosde libertad caen entre 8.907 y 32.852, el valor calculado con 2 = 8no es razonable y por lo tanto se tiene razn suficiente parasospechar que la varianza es diferente a ocho. Es muy probable queel valor supuesto de 2 sea un error.Problema 9 (Ref: Pg. 236 Ej. 8)Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 13 de 104 14.Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de2008a) Encuentre t0.025 cuando =14; b) Encuentre t0.10 cuando = 10;c) Encuentre t0.995 cuando =7. a) Segn Tabla A.4 t0.025 cuando =14=> 2.145 Respuesta: El valor t con 14 grados de libertad, quedeja un rea de 0.025 a su derecha es 2.145. Grfica:b) Segn TablaA.4 t0.10 cuando = 10 => -1.372 Lafata Desio Fernando, WarletIvn LautaroPgina 14 de 104 15. Ctedra: Probabilidad y EstadsticaUADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Respuesta: El valor t con 10grados de libertad, que deja un rea de 0.10 a su izquierda es-1.372. Grfica:Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 15 de104 16. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 deAgosto de 2008c) Segn Tabla A.4 t0.995 cuando =7 => -3.499Respuesta: El valor t con 7 grados de libertad, que deja un rea de0.995 a su derecha y por lo tanto un rea de 0.005 a su izquierda es-3.499. Grfica:Problema 10 (Ref: Pg. 236 Ej. 9) Lafata DesioFernando, Warlet Ivn LautaroPgina 16 de 104 17. Ctedra:Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008a)Encuentre P(T < 2.365) cuando =7; b) Encuentre P(T > 1.318)cuando = 24; c) Encuentre P(-1.356 < T -2.567) cuando =17. a)P(T < 2.365) cuando =7 1 P(T 2.365) cuando =7 Segn Tabla A.4=> = 1 0.025 = 0.975 Respuesta: La probabilidad de que un valort sea menor que 2.365 con 7 grados de libertad es del 97.5%.Grfica:Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 17 de 104 18.Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de2008b) P(T > 1.318) cuando = 24 Segn Tabla A.4 =>0.10Respuesta: La probabilidad de que un valor t sea mayor que 1.318con 24 grados de libertad es del 10%. Grfica:Lafata Desio Fernando,Warlet Ivn LautaroPgina 18 de 104 19. Ctedra: Probabilidad yEstadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008c) P(-1.356 < T< 2.179) cuando =12 P(T -1.356) P(T 2.179) cuando =12 Segn TablaA.4 => = (1 0.10) 0.025 = = 0.90 0.025 = 0.875 Respuesta: Laprobabilidad de que un valor t se encuentre entre -1.356 y 2.179con 12 grados de libertad es del 87.5%. Grfica:Lafata DesioFernando, Warlet Ivn LautaroPgina 19 de 104 20. Ctedra:Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008d)P(T > -2.567) cuando =17 1 P( T > 2.567) cuando =17 SegnTabla A.4 => = 1 0.01 = 0.99 Respuesta: La probabilidad de queun valor t sea mayor que -2.567 con 17 grados de libertad es del99%. Grfica:Problema 11 (Ref: Pg. 236 Ej. 12) Lafata DesioFernando, Warlet Ivn LautaroPgina 20 de 104 21. Ctedra:Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Unaempresa manufacturera afirma que las bateras que utiliza en susjuegos electrnicos duran un promedio de 30 horas. Para mantenereste promedio se prueban 16 bateras cada mes. Si el valor t que secalcula cae entre t0.025 y t0.025, la empresa queda satisfecha consu afirmacin.Qu conclusiones extraera la empresa de una muestra quetiene una media de x = 27.5 horas y una desviacin estndar de s = 5horas? Suponga que la distribucin de las duraciones de las baterases aproximadamente normal. Datos: P: bateras de juegos electrnicos.X: rendimiento en horas de una bajara de juegos electrnicos. Mediapoblacional x = 30 horas. Tamao de la muestra n = 16 bateras. Mediamuestral x = 27.5 horas. Desviacin estndar muestral s = 5 horas.Solucin: De la tabla A.4 encontramos que t0.025 = 2.131 para 15grados de libertad. Por tanto, la empresa queda satisfecha con estaafirmacin si una muestra de 16 bateras rinde un valor t entre 2.131y 2.131. si = 30, entoncesT=X con (n 1) grados de libertad s nConnuestros datos: T=27.5 30 516= , 2Respuesta: La empresa estarasatisfecha con su afirmacin ya que el valor hallado de t perteneceal intervalo establecido como parmetro para poder afirmar que susbateras promedian las 30 horas de duracin.Problema 12 (Ref: Pg. 236Ej. 13) Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 21 de 10422. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 deAgosto de 2008Una poblacin normal con varianza desconocida tieneuna media de 20. Se tiene posibilidad de obtener una muestraaleatoria de tamao 9 de esta poblacin con una media de 24 y unadesviacin estndar de 4.1? Si no, qu conclusin sacara? Datos: Mediapoblacional Tamao de la muestra Media muestral Desviacin estndarmuestralx = 20. n = 9. x = 24. s = 4.1.Solucin:T=X con (n 1) gradosde libertad s ncon nuestros datos: P ( X - = X - 20 > 4) = = 1 P( X - 20 4) = = 1 P (-4 X - 20 4) = 4 4 X 20 =1P = 4.1 4.1 3 3 = 1P (-2.92 t8 2.92) = = P (t8 2.92) P (t8 2.92) = 0.00959 + 0.00959 =0.01918 = 1.918%. Respuesta: Si se tiene la posibilidad de obteneruna muestra de tamao 9 con esas condiciones, con una probabilidaddel 1.918%Problema 13 (Ref: Pg. 236 Ej. 14) Lafata Desio Fernando,Warlet Ivn LautaroPgina 22 de 104 23. Ctedra: Probabilidad yEstadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Un fabricante decierta marca de barras de cereal bajo de grasa afirma que sucontenido promedio de grasa saturada es 0.5 gramos. En una muestraaleatoria de 8 barras de cereal de esta marca el contenido de grasasaturada fue 0.6, 0.7, 0.7, 0.3, 0.4, 0.5, 0.4 y 0.2. Estara deacuerdo con la afirmacin? Datos: P: barras de cereal bajo de grasa.X: contenido de grasa en gramos de una barra de cereal. Mediapoblacional x = 0.5 gramos. Tamao de la muestra n = 8. nMediamuestralx=Xii =1n=0.6 + 0.7 + 0.7 + 0.3 + 0.4 + 0.5 + 0.4 + 0.2 3.8= = 0.475 gramos 8 8 nDesviacin estndar muestrali =1i X)2n 1( 0.60.475) 2 +(0.7 0.475) 2 +(0.7 0.475) 2 +(0.30.475) 2 +(0.4 0.475) 2+(0.5 0.475) 2 +(0.4 0.475) 2 +(0.2 0.475s= =s= (X7( 0.125) 2 + (0.225) 2 + ( 0.225) 2 + ( 0.175) 2 + ( 0.075) 2 + ( 0.025) 2 + (0.075) 2 + ( 0.275) 2 = 70.26 = 7Incgnita: x = 0.5 Solucin:T=X con(n 1) grados de libertad s ncon nuestros datos T=0.475 0.5 = 0.38600.1832 8 X X 0 P s s n n con nuestros datos P(-0.3860 t7 0.3860) =0.3754 + 0.3754 = 0.7508 = 75.08%. Respuesta: Hay razonessuficiente (75,08%) para considerar que la afirmacin es cierta.Problema 14 (Ref: Pg. 236 Ej. 15) Para una distribucin F encuentre:a) 0.05 con 1 = 7 y 2 = 15; Lafata Desio Fernando, Warlet IvnLautaroPgina 23 de 1040.037 0.18 24. Ctedra: Probabilidad yEstadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008b) 0.05 con 1 = 15y 2 = 7; c) 0.01 con 1 = 24 y 2 = 19; d) 0.95 con 1 = 19 y 2 = 24;e) 0.99 con 1 = 28 y 2 = 12. a) Segn Tabla A.6 0.05 con 1 = 7 y 2 =15 => 2.71 Respuesta: El valor f con 7 y 15 grados de libertad,que deja un rea de 0.05 a su derecha es 2.71. Grfica:b) Segn TablaA.6 0.05 con 1 = 15 y 2 = 7 => 3.51Lafata Desio Fernando, WarletIvn LautaroPgina 24 de 104 25. Ctedra: Probabilidad y EstadsticaUADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Respuesta: El valor f con 15y 7 grados de libertad, que deja un rea de 0.05 a su derecha es3.51. Grfica:c) Segn Tabla A.6 0.01 con 1 = 24 y 2 = 19 =>2.92Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 25 de 104 26.Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de2008Respuesta: El valor f con 24 y 19 grados de libertad, que dejaun rea de 0.01 a su derecha es 2.92. Grfica:d) 0.95 con 1 = 19 y 2= 241 Lafata Desio Fernando, Warlet 2 , Lautaro f ( Ivn 1 ) f 1 (1, 2 ) =Pgina 26 de 104 27. Ctedra: Probabilidad y EstadsticaUADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008con nuestros datos f 0.95(19,24) =1 1 = = 0.4739 f 0.05 ( 24,19 ) 2.11Respuesta: El valor fcon 19 y 24 grados de libertad, que deja un rea de 0.95 a suderecha es 0.4739. Grfica:e) 0.99 con 1 = 28 y 2 = 12Lafata DesioFernando, Warlet Ivn LautaroPgina 27 de 104 28. Ctedra:Probabilidad y Estadstica UADERf 1 ( 1, 2 ) =Trabajo Final 6 deAgosto de 20081 f ( 2 , 1 )con nuestros datos f 0.99 ( 28,12 ) =1 1= = 0.3448 f 0.01 (12,28) 2.90Respuesta: El valor f con 28 y 12grados de libertad, que deja un rea de 0.99 a su derecha es0.3448.Grfica:Problema 15 (Ref: Pg. 237 Ej. 5) Una muestraaleatoria de cinco presidentes de bancos indican salarios anualesde $163000, $148000, $152000, $135000 y $141000. Encuentre lavarianza de este conjunto. Lafata Desio Fernando, Warlet IvnLautaroPgina 28 de 104 29. Ctedra: Probabilidad y EstadsticaUADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Datos: Variable aleatoriaTamao de la muestraX: salarios anuales de presidentes de bancos (enpesos) n = 5 presidentes. nMedia muestralx=Xii =1n163000 + 148000 +152000 + 135000 + 141000 739000 = = = 147800 $ 5 5Incgnita:Varianza muestral s2 Solucin:(X ns2 =i =1iX)2n 1con nuestrosdatoss2 = =(163000 147800) 2 + (148000 147800) 2 + (152000 147800)2 + (135000 147800) 2 + (141000 147800) 2(15200 ) 2 + ( 200) 2 + (4200) 2 + ( 12800) 2 + ( 6800) 2 44 458800000 = = 114700000 $4Respuesta: La varianza de este conjunto es 114700000 $.Problema 16(Ref: Pg. 237 Ej. 9)Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina29 de 104= 30. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final6 de Agosto de 2008Si S21 y S22 representan las varianzas demuestras aleatorias independientes de tamao n 1 = 25 y n2 = 31,tomadas de poblaciones normales con varianzas 21 = 10 y 22 = 15,respectivamente, encuentre 2 P S 1 S 2 > 1.26 . 2()Datos: Tamaode la primer muestra Tamao de la segunda muestra Varianza de laprimera muestran1 = 25. n2 = 31.Varianza de la segunda muestra 2 =15 . 2Incgnita:(2 P S1 S 2 > 1.26 22 1 =10 .)Solucin: Utilizandoel Teorema 8.8; el que dice: 2 Si s1 y s 2 son las varianzas demuestras aleatorias independientes de tamao n 1 y n 2 tomadas de 22 poblaciones normales con varianzas 1 y 2 , respectivamente,entonces 22 2 s1 2 s1 2 2 F= 2 2 = 2 2 2 1 s 2 s 2 1Tiene unadistribucin F con 1 = n1 1 y 2 = n2 1 grados de libertad.connuestros datos s12 P = 2 > 1.26 = s 2 s12 2 1 ( 15) * ( 1.26) P2 > = P( F > 1.89) 0.05 = 5%. s2 10 2 2 F0.05(24, 30) = 1.89Respuesta: La probabilidad de que F con 24 y 30 grados de libertadsea mayor que 1.26 es de 0.05, es decir, 5%.Lafata Desio Fernando,Warlet Ivn LautaroPgina 30 de 104 31. Ctedra: Probabilidad yEstadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Problema 17 (Ref:Pg. 251 Ej. 4) Una empresa elctrica fabrica focos que tienen unaduracin aproximadamente distribuida de forma normal con unadesviacin estndar de 40 horas. Si una muestra de 30 focos tiene unaduracin promedio de 780 horas, encuentre un intervalo de confianzade 96 % para la media de la poblacin de todos los focos que produceesta empresa. Datos: P: focos fabricados por la empresa. X: duracinde esa muestra de focos. Desviacin estndar poblacional x = 40horas. Tamao de la muestra n = 30 focos. Media muestral x = 780horas. Intervalo de confianza IC = 96%.X ~ N( x = 780, x = 40)Incgnita: Intervalo de confianza para la media poblacional, x, con96% de confianza. Solucin:X z 1 2n X + z 1 2n100% =100(1-)% = 96%=> = 0.04 => z1 2 => z0.98 = 2.054 con nuestros datos 780( 2.054 )40 30 x 780 + ( 2.054)40 30765 hs. x 795 hs. Respuesta:Podemos afirmar con un nivel de confianza del 96% que la mediapoblacional se encuentra entre 765 y 795 horas.Problema 18 (Ref:Pg. 252 Ej. 8) Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 31 de104 32. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 deAgosto de 2008De que tamao se necesita una muestra en el ejercicio4 si deseamos tener 96% de confianza que nuestra media muestral estdentro de 10 horas de la media real? Datos: Desviacin estndarpoblacional x = 40 horas. Media muestral x = 780 horas. Intervalode confianza IC = 96%. Intervalo de error e = 10 horas.n + 2 z 1 2n e con nuestros datos n + 2 2.054.40 n = 67.5 n = 68 10 Respuesta:Por lo tanto, podemos tener una confianza 96% de que una muestraaleatoria de tamao 68 proporcionara una estimacin x que difiere depor una cantidad menor que 0.04.Problema 19 (Ref: Pg. 252 Ej.6)Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 32 de 104 33.Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de2008Las estaturas de una muestra aleatoria de 50 estudiantesuniversitarios muestra una media de 174.5 centmetros y unadesviacin estndar de 6.9 centmetros. a) Construya un intervalo deconfianza de 98% para la estatura media de todos los estudiantes dela universidad; b) Qu podemos afirmar con 98% de confianza sobre eltamao posible de nuestro error si estimamos que la estatura mediade todos los estudiantes de la universidad de 174.5 centmetros?.Datos: P: estudiantes universitarios. Variable aleatoria Tamao dela muestra Media muestral Desviacin estndar muestral Intervalo deconfianzaX: medidas de esos estudiantes universitarios (encentmetros) n = 50 estudiantes. x = 174.5 centmetros. s = 6.9centmetros. IC = 98%.100% =100(1-)% = 98% => = 0.02 => 2 =0.01t49, 0.01 = 2.4048 a) Incgnita: Intervalo de confianza para lamedia poblacional, x, con 98% de confianza. Solucin: X t 2s s X + t2 n ncon nuestros datos 174.5 ( 2.4048)6.9 174.5 + ( 2.4048)50172.15 cm. 176.85 cm.6.9 50Respuesta: Podemos afirmar con 98% deconfianza que la media poblacional se encuentra entre 172.15 y176.85 centmetros. b) Incgnita: Posible error de estimacin.Solucin: = X - =174.5 172.15 = .35 2cm.Respuesta: Podemos afirmarcon 98% de confianza que el error de estimacin es igual a 2.35 cm.Problema 20(Ref: Pg. 252 Ej. 13) Lafata Desio Fernando, Warlet IvnLautaroPgina 33 de 104 34. Ctedra: Probabilidad y EstadsticaUADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Una mquina produce piezasmetlicas de forma cilndrica. Se toma una muestra de las piezas ylos dimetros son 1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01 y1.03 centmetros. Encuentre un intervalo de confianza de 99% para eldimetro medio de las piezas de esta mquina, suponga una distribucinaproximadamente normal. Datos: P: piezas metlicas de formacilndricas. X: dimetro de las piezas cilndricas(en centmetros).Tamao de la muestra n = 9 piezas. Intervalo de confianza IC = 99%.nMedia muestralx=Xii =1=n1.01 + 0.97 + 1.03 + 1.04 + 0.99 + 0.98 +0.99 + 1.01 + 1.03 = 1.0055 9cm. nDesviacin estndar muestrals= =s=(X i =1i X)2n 1(1.01 1.0055) 2 + (0.97 1.0055) 2 + (1.03 1.0055) 2+ (1.04 1.0055) 2 + (0.99 1.0055) 2 + (0.98 1.0055) 2 + (0 8(0.0045)2 + (0.0355)2 + ( 0.0245)2 + (0.0345)2 + ( 0.0155)2 + (0.0255)2 + (0.0155)2 + ( 0.0045)2 + ( 0.0245) 2 8100% =100(1-)% =99% => = 0.01 => 2 = 0.005t8, 0.005 = 3.355 Incgnita:Intervalo de confianza para la media poblacional, x, con 99% deconfianza. Solucin: X t 2s s X + t 2 n ncon nuestros datos 1.0055 (3.355)0.0245 0.0245 1.0055 + ( 3.355) 9 90.9781 cm. 1.0329cm.Respuesta: Podemos afirmar con 99% de confianza que la mediapoblacional se encuentra entre 0.9781 y 1.0329 centmetros.LafataDesio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 34 de 104 35. Ctedra:Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de2008Problema 21 (Ref: Pg. 252/253 Ej. 17) Una muestra aleatoria de25 botellas de aspirinas contiene, en promedio, 325.05 mg. deaspirina con una desviacin estndar de 0.5. Encuentre los lmites detolerancia del 95% que contendrn 90% del contenido de aspirina paraesta marca. Suponga que el contenido de aspirina se distribuyenormalmente. Datos: P: botellas de aspirinas. X: cantidad deaspirina que contienen las botellas de aspirina (en miligramos).Tamao de la muestra n = 25 botellas de aspirina. Media muestral x =325.05 mg. de aspirina. Desviacin estndar muestral s = 0.5 mg. deaspirina. 1 = 95% => = 0.05 y 1 = 90% => 0.9 Segn Tabla A.7=> k = 2.208 Incgnita: Limites de tolerancia del 95% quecontendrn 90% de aspirina. Solucin:x ks con nuestros datos 325.052.208.0.5 = [323.946 ; 326.154]mg. Respuesta: Los lmites detolerancia del 95% que contendrn 90% de aspirina para esta marcason 323.946 mg y 326.154 mg,Lafata Desio Fernando, Warlet IvnLautaroPgina 35 de 104 36. Ctedra: Probabilidad y EstadsticaUADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Problema 22 (Ref: Pg. 262 Ej.1) Una muestra aleatoria de tamao n1 = 25 que se toma de unapoblacin normal con una desviacin estndar 1 = 5 tiene una media x 1= 80. Una segunda muestra aleatoria de tamao n2 = 36, que se tomade una poblacin normal diferente con una desviacin estndar 2 = 3,tiene una media x 2 = 75. Encuentre un intervalo de confianza de95% para 1 - 2. Datos: Tamao de la primer muestra Desviacin estndarde la primer poblacin Media de la primer muestran1 = 25. 1 = 5. x 1= 80.P1 X 1 ~ N x1 = 80, x1 = 5Tamao de la segunda muestra n2 = 36.Desviacin estndar de la segunda poblacin 2 = 3. x 2 = 75. Media dela segunda muestraP2 X 2 ~ N x 2 = 75, x 2 = 3()()Intervalo deconfianza IC = 95% para 1 2 100(1-)% = 95% => = 0.05 => z1 2=> z0.025 = 1.96 Aplicando Tabla A.3 Incgnita: Intervalo deconfianza para la diferencia de las medias poblacionales, 1 2, con95% de confianza. Solucin: x1 x 2 = 1 2 x1 x 2 =y2 1 2 + 2 n1 n2con nuestro datos x1 x 2 = 80 75 = 5( x1 x 2 ) z 2.y x 1 x 2 =25 9+ = 25 365 = 1.25 1.118 42 1 2 2 2 + 2 < 1 2 < ( x1 x 2 ) + z. 1 + 2 2 n1 n 2 n1 n 2con nuestros datos 5 1.96 1.118 < 1 2< 5 + 1.96 1.118 5 2.19 < 1 2 < 5 + 2.19 2.80 < 1 2< 7.19 Respuesta: Podemos afirmar con 95% de confianza que ladiferencia entre las medias poblacionales se encuentra entre 2.80 y7.19.Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 36 de 104 37.Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de2008Problema 23 (Ref: Pg. 263 Ej. 9) Una compaa de taxis trata dedecidir si comprar neumticos de la marca A o de la B para suflotilla de taxis. Para estimar la diferencia de las dos marcas, selleva cabo un experimento, utilizando 12 de cada marca. Losneumticos se utilizan hasta que se gastan. Los resultados son: x 1= 36300 kilmetros. s1 = 5000 kilmetros. x 2 = 38100 kilmetros. s2 =6100 kilmetros.Marca A: Marca B:Calcule un intervalo de confianzade 95% para 1 2,suponga que las poblaciones se distribuyen de formaaproximadamente normal. Puede no suponer que las varianzas soniguales. Datos: P1 : neumticos de la marca A. P2 : neumticos de lamarca B. X1 : duracin en kilmetros de un neumtico de la marca A. X2: duracin en kilmetros de un neumticos de la marca B. Tamao de laprimer muestra n1 = 12 neumticos. Tamao de la segunda muestra n2 =12 neumticos. x 1 = 36300 Km. Media de la primer muestra x 2 =38100 Km. Media de la segunda muestra s 1 = 5000 Km. Desviacinestndar de la primer muestra Desviacin estndar de la segundamuestra s 2 = 6100 Km. Intervalo de confianza IC = 95%. 100(1-) % =95% => = 0.05 => t 2 Aplicando Tabla A.4 t0.025 = 2.07892 con= 21.18 grados de libertad. Incgnita: Intervalo de confianza parala diferencia de las medias poblacionales, 1 2, con 95% deconfianza. Solucin:( x1 x 2 ) t 2 (s122 2 s1 s 2 s1 s 2 + 2 < 12 < ( x1 x 2 ) + t + 2 2 n1 n1 n 2 n2)donde t 2 es el valor tcon2 n1 + s 2 n 2 ( 25000000 12 + 37210000 12 ) 2 = ( 2083333.3 +3100833.3) 2 = 21.18 2 = = 2 2 2 ( 25000000 12 ) 2 + ( 37210000 12) 2 ( 2083333.3) 2 + ( 3100833.3) 2 s1 n1 s2 n 2 2 + 12 1 12 1 1111 n1 1 n 2 1() ()con nuestros datos( 36300 38100) 2.0782500000037210000 25000000 37210000 + < 1 2 < ( 36300 38100 ) + 2.080+ 12 12 12 12( 1800) ( 2.080)( 2276.87 ) < 1 2 < ( 1800) + (2.080)( 2276.87 ) 6533.4 < 1 2 < 2933.4Respuesta: Podemosafirmar con 95% de confianza que la diferencia entre las mediaspoblacionales se encuentra entre 6533.4 y 2933.4.Lafata DesioFernando, Warlet Ivn LautaroPgina 37 de 104 38. Ctedra:Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de2008Problema 24 (Ref: Pg. 263 Ej. 7) Los siguientes datos,registrados en das, representan el tiempo de recuperacin parapacientes que se tratan al azar con uno de dos medicamentos paracurar infecciones graves en la vejiga: Medicamento 1 n1 = 14 x 1 =17Medicamento 2 n 2 = 16 x 2 = 192 s 1 = 1.5 s 2 = 1.8 2 Encuentreun intervalo de confianza de 99% para la diferencia 2 1 en eltiempo promedio de recuperacin para los dos medicamentos, supongapoblaciones normales con varianzas iguales.Datos: P1 : pacientesque se tratan con el medicamento 1. X 1 : tiempo de recuperacin endas para un paciente tratado con el medicamento 1. Tamao de laprimer muestra n1 = 14 das. x 1 = 17 das. Primer media muestral 2 s1 = 1.5 das.Primer varianza muestralP2 : pacientes que se tratancon el medicamento 2. X 2 : tiempo de recuperacin en das para unpaciente tratado con el medicamento 2. Tamao de la segunda muestran2 = 16 das. x 2 = 19 das. Segunda media muestral Segunda varianzamuestral s 2 = 1.8 das. 2 Intervalo de confianza IC = 99% para 2 1. 100(1-)% = 99% => = 0.01 => t 2 Aplicando Tabla A.4 t0.005= 2.763 con (n1 + n2 2) = 28 grados de libertad. Incgnita:Intervalo de confianza para la diferencia de las mediaspoblacionales, 2 1 , con 99% de confianza. Solucin: x 2 x1 = 2 1 x2 x1 =y1 1 + n 2 n1con nuestros datos x 2 x1 = 19 17 = 2s2 = py x 2x1 =1 1 + = 0,1339 0.3659 14 16( n 1 1) * ( s12 ) + ( n 2 1) * ( s2 ) 2 n1 + n 2 2con nuestros datos Lafata Desio Fernando, WarletIvn LautaroPgina 38 de 104 39. Ctedra: Probabilidad y EstadsticaUADERs2 = p(14 1) * (1.5) + (16 1) * (1.8) 14 +16 2Trabajo Final 6de Agosto de 2008= 1.6607 s p 1.2886luego,( x 2 x1 ) t 2sp1 1 1 1 +< 2 - 1 < ( x 2 x1 ) + t s p + 2 n 2 n1 n 2 n1con nuestrosdatos 2 (2.763)*(1.2886)*(0.3659) < 2 - 1 < 2 +(2.763)*(1.1886)*(0.3659) 2 1.30 < 2 - 1 < 2 + 1.30 0.70 =0.04 => z1 2 => z0.982.054 a) Incgnita: Intervalo de confianza de 96% para la fraccin dela poblacin que favorece el convenio. Solucin: p*q = n p z * 2(0.57 ) * ( 0.43) 200=0.2451 = 0,0012255 0.035 200 p*q p*q < p< p + z * 2 n ncon nuestros datos 0.57 (2.054)*(0.035) < p< 0.57 + (2.054)*(0.035) 0.57 0.07189 < p < 0.57 + 0.071890.49811 < p < 0.64189 Respuesta: Podemos afirmar con 96% deconfianza que la fraccin que favorece el convenio se encuentraentre 0.49811 y 0.64189, es decir, 49.81% y 64.19% respectivamente.b) Incgnita: Posible error de estimacin. Solucin: = p - p = 0.570.49811 0.72 =7.2%Respuesta: Podemos afirmar con 96% de confianzaque le error de estimacin no superar el 7.2 %. Problema 26 (Ref:Pg. 270 - Ej. 9) Que tan grande se requiere que sea la muestra sideseamos tener una confianza de 96% de que nuestra proporcin de lamuestra estar dentro del 0.02 de la fraccin real de la poblacinvotante?. Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 40 de 10441. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 deAgosto de 2008Datos: Sabemos que: p 0.57 q 0.43 Y queIncgnita: n =?tal que p( p - p 0.02 ) =0.96Solucin: Con Intervalo de errorn=e =0.02.2 z 2 pqe2con nuestros datosn=( 2.054) 2 ( 0.57 )( 0.43) (0.02) 2=1.030 2575 votantes 0.0004Respuesta: Si basamos nuestraestimacin de p sobre una muestra aleatoria de tamao 2575, podemostener una confianza de 96% de que nuestra proporcin muestral nodiferir de la proporcin real por ms de 0.02.Problema 27 (Ref: Pg.271 Ej. 15) Cierto genetista se interesa en la proporcin de hombresy mujeres en la poblacin que tienen cierto trastorno sanguneomenor. En una muestra aleatoria de 1000 hombres se encuentra que250 lo padecen, mientras que 275 de 1000 mujeres examinadas parecentener el trastorno. Calcule un Lafata Desio Fernando, Warlet IvnLautaroPgina 41 de 104 42. Ctedra: Probabilidad y EstadsticaUADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008intervalo de confianza de 95%para la diferencia entre la proporcin de hombres y mujeres quepadecen el trastorno sanguneo. Datos: P1 : hombres P2 : mujeres p1: proporcin de hombres que tienen cierto trastorno sanguneo menor.p2 : proporcin de mujeres que tienen cierto trastorno sanguneomenor. Tamao de la primer muestra n1 = 1000 hombres. Tamao de lasegunda muestra n2 = 1000 mujeres. Nmero de xitos de la primermuestra x1 = 250. Nmero de xitos de la segunda muestra x2 = 275. x250 p1 = = = 0.25 Proporcin de xitos de la primer muestra n 1000 x275 p2 = = = 0.275 Proporcin de xito de la segunda muestra n 1000 q1 = 1 p1 = 1 0.25 = 0.75 Proporcin de fracasos de la primer muestraq 2 = 1 p 2 = 1 0.275 = 0.725 Proporcin de fracasos de la segundamuestra p 1 p 2 = 0.25 0.275 = 0.025 Diferencia entre proporcionesde xitos Intervalo de confianza IC = 95% z1 2 => z0.025 1.96 100= 100(1 - )% = 95% => =0.05 => Incgnita: Intervalo deconfianza de 96% para la diferencia de las fracciones de poblacinque favorece el convenio. Solucin: p1 * q 1 p 2 * q 2 + n1 n2 ( p 2p1 ) z 2*con nuestros datos( 0.25) * ( 0.75) + ( 0.275) * ( 0.725)10001000 0.01967 p1 * q 1 p 2 * q 2 p *q p *q + < p 2 p1 < (p 2 p1 ) + z * 1 1 + 2 2 2 n1 n2 n1 n2con nuestros datos 0.025(1.96)*(0.01967) < p2 p1 < 0.025 + (1.96)*(0.01967) 0.0250.0385532 < p2 p1< 0.025 + 0.0385532 0.01355 < p2 p1 =0.05=> z1 2 => z0.025 1.96 . Proporcin de xitos en 1990 lasmujeres constituan 33,7 % de 20 empleadosa) Incgnita: Estimar elnmero que habran sido mujeres en cada ao. Solucin: En 1990 el 33.7%de 20 n * P = 20 * 0.337 = 6.74 7 mujeres 1 En 1994 el 36.2% de 20n * P2 = 20 * 0.362 = 7.24 7 mujeresRespuesta: Estimamos que en1990 habra sido de 6.74 7 mujeres, y en 1994 la estimacin habrasido de 7.24 7 mujeres. b) Incgnita: Intervalo de confianza de 95%para ver si hay evidencia de que la proporcin de mujerescontratadas como personal editorial en 1994 fue mayor que laproporcin contratada en 1990. Solucin: (P P ) Z 21 /2*(( 0.337 -0.362) (1.96) * ( 0.025) (1.96) *) p1 * q1 p 2 * q 2 + < p 2 p1< P2 P1 + Z / 2 * n1 n2 p1 * q1 p 2 * q 2 + n1 n2(0.337) *(0.663) (0.362) * (0.638) (0.337) + < p 2 p1 < ( 0.337 -0.362) + (1.96) * 20 20 2(0.337) * (0.663) (0.362) * (0.638)(0.337) * (0.663) + < p 2 p1 < ( 0.025) + (1.96) * + 20 2020( 0.025) 0.295430 < p2 p1 < ( 0.025) + 0.295430 0.32043< p 2 p1 < 0.27043Respuesta: Podemos afirmar con 95% deconfianza que no hay ninguna evidencia para asegurar que laproporcin de mujeres contratadas como personal en 1994 fue mayorque la proporcin contratada en 1990. Problema 29 (Ref: Pg. 275 Ej.1) Un fabricante de bateras para automvil afirma que sus baterasduraran, en promedio, tres aos con una varianza de un ao. Si cincode estas bateras tienen duraciones de 1.9, 2.4, 3.0, 3.5 y 4.2 aos,construya un intervalo de confianza de 95% para 2 y decida si laafirmacin del fabricante de que 2 = 1 es vlida. Suponga que lapoblacin de duraciones de las bateras se distribuye de formaaproximadamente normal. Lafata Desio Fernando, Warlet IvnLautaroPgina 43 de 104 44. Ctedra: Probabilidad y EstadsticaUADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Datos: P: bateras deautomvil. X: tiempo de duracin en aos de una batera. Mediapoblacional x = 3 aos. Desviacin estndar poblacional x = 1 ao.Intervalo de varianza IC = 95%. Tamao de la muestra n = 5 bateras.X~ N( x = 3, x = 1)Incgnita: 2 = 1 ao 2 Solucin: Se desea estimar elvalor de la varianza utilizando S 2 como estimador. n n n x i2 x ii =1 s 2 = i =1 n ( n 1)s2 =2( 5) * ( 48.26 ) (15) 2 ( 5)( 4)=241.3225 = 0.815 ao 2 20S = 0.902774 aos Para el intervalo de confianzadel 95% 2 2=2 0.025( n 1) s 2 2 2 1= 11.113 = 0.10 => f IC =90%. 2Aplicando Tabla A.6f0.05 = 2.80 con (n1 1, n2 - 1), es decir,con (11, 11) grados de libertad. 2 s12 s2 1 < 1 < 1 f ( 1, 2) s 2 f ( 1, 2 ) 2 s 2 2 2 2 2 2con nuestros datos 2 25000000 1 125000000 < 2 < ( 2.80 ) 37210000 2.80 2 37210000 0.238249< 12 < 1.894652 2 2Respuesta: 2 Podemos afirmar con 90% deconfianza que 1 2 se encuentra entre 0.238249 y 1.894652, ya que el2 intervalo contiene a 1 es razonable asumir que 21 = 22.Problema31 (Ref: Pg. 304 Ej. 1) Suponga que un alerglogo desea probar lahiptesis de que al menos 30% del pblico es alrgico a algunosproductos de queso. Explique como el alerglogo puede cometer: a) Unerror tipo I. b) Un error tipo II. Solucin: Lafata Desio Fernando,Warlet Ivn LautaroPgina 46 de 104 47. Ctedra: Probabilidad yEstadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008H 0 ) Al menos el30% del pblico es alrgico a algunos productos de queso.H 1 ) Menosdel 30% del pblico es alrgico a algunos productos de queso.p =proporcin de pblico que es alrgico a algunos productos de queso. Ensmbolos: H 0 ) p 0.30H 1 ) p < 0.30 El rechazo de la hiptesisnula cuando es verdadera se llama error de tipo I. a) Cuandoconcluye que al menos de 30% del pblico es alrgico a algunosproductos de queso cuando, de hecho, el 30% o ms son alrgicos. Elno rechazo de la hiptesis nula cuando es falsa se llama error tipoII. b) Cuando concluye que al menos el 30% del pblico es alrgico aalgunos productos de queso cuando, de hecho, menos del 30% sonalrgicos.Problema 32 (Ref: Pg. 304 Ej. 4) Se estima que laproporcin de adultos que viven en una pequea ciudad que songraduados universitarios es p = 0.6. Para probar esta hiptesis seselecciona una muestra aleatoria de 15 adultos. Si el nmero degraduados en nuestra muestra es cualquier nmero de 6 a 12,aceptaremos la hiptesis nula de que p = 0.6 en caso contrario,concluiremos que p 0.6 a) Evale con la suposicin de que p = 0.6.Utilice la distribucin binomial. b) Evale para las alternativas p =0.5 y p = 0.7. c) Es este un buen procedimiento de prueba?.LafataDesio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 47 de 104 48. Ctedra:Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de2008Datos: P : adultos graduados universitarios. p : proporcin deadultos graduados universitarios. X : un adulto graduadouniversitario de esa poblacin. Tamao de la muestra n = 15 adultos.Regin de aceptacin 6 x 12 graduados universitarios. Hiptesis nulaHiptesis alternativaH0 : p = 0.6. H1 : p 0.6.a) Incgnita:Probabilidad de error tipo I, Solucin: Proporcin de adultosgraduados universitariosx = P(error tipo I) = P(6 < i =5< 12| p = 0.6) = P( x 6 | p = 0.6) + P( x 12 | p = 0.6) =i= 15i =0=p =0.6 graduados universitarios.i= 13b( x;15;0.6) + b( x;15;0.6) =0.0338 +(1 0.9729) = 0.0609 = 6.09%.Respuesta: La probabilidad decometer un error tipo I con p = 0.6 es del 6.09%. b) Incgnita:Probabilidad de error tipo II, Solucin: Proporcin de adultosgraduados universitarios = P(error tipo II) =P(6 xp = 0.5 graduadosuniversitarios. i= 12 12 | p = 0.5) =b ( x;15;0.5) = AplicandoTabla A.1 = 0.8464 = i= 684.64%. Proporcin de adultos graduadosuniversitarios = P(error tipo II) =P(6 xp = 0.7 graduadosuniversitarios. i= 12 12 | p = 0.7) =b ( x;15;0.7) = AplicandoTabla A.1 = 0.8695 = i =686.95%. Respuesta: La probabilidad decometer un error tipo II con p = 0.5 es del 84.64%. La probabilidadde cometer un error tipo II con p = 0.7 es del 86.95%. c) Incgnita:Es este un buen procedimiento de prueba? Solucin: El procedimientoempleado para este ejercicio no es un buen procedimiento de pruebaya que la probabilidad es muy alta. Problema 33 (Ref: Pg. 304 Ej.5) Repita el ejercicio 4 cuando se seleccionan 200 adultos y laregin de aceptacin se define como 110 x 130 donde x es el nmero degraduados universitarios en nuestra muestra. Utilice la aproximacinnormal. Datos: Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 48 de104 49. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTamao de la muestraRegin de aceptacin Hiptesis nula Hiptesis alternativaTrabajo Final6 de Agosto de 2008n = 200 adultos. 110 x 130 graduadosuniversitarios. H0: p = 0.6. H1: p 0.6.a) Incgnita: Probabilidad deerror tipo I, Solucin: Proporcin de adultos graduadosuniversitariosp = 0.6 graduados universitarios.Media = n * p = (200 ) * ( 0.6) = 120 . = n * p * q = 200 * 0.6 * 0.4 =6.9282Desviacin estndarNecesitamos conocer el rea bajo la curvanormal entre 110 x 130 110 - 0.5 y 130 + 0.5 109.5 y 130.5 Z=z=y109.5 120 1.52 6.928yz=130.5 120 1.52 6.928 = P(error tipo I) =P(110 > x > 130 | p = 0.6) = P( x < 110 | p = 0.6) + P( x> 130 | p = 0.6) = = P(z < -1.52) + P(z < 1.52) =(2)*(0.0643) = 0.1286 = 12.86%. Respuesta: La probabilidad decometer un error tipo I con p = 0.6 es del 12.86%. b) Incgnita:Probabilidad de error tipo II, Solucin: Proporcin de adultosgraduados universitariosp = 0.5 graduados universitarios.Media = n* p = ( 200 ) * ( 0.5) = 100 .Desviacin estndar = n * p * q = 200 *0.5 * 0.5 = 7.0712Necesitamos conocer el rea bajo la curva normalentre 110 x 130 110 - 0.5 y 130 + 0.5 109.5 y 130.5 Z=y LafataDesio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 49 de 104 50. Ctedra:Probabilidad y Estadstica UADERz=109.5 100 1.34 7.07Trabajo Final 6de Agosto de 2008yz=130.5 100 4.31 7.07 = P(error tipo II) =P(110< x < 130 | p = 0.5) =P(1.34 < z < 4.31) = P(z 4.31)P(z 1.34) = = 1 0.9099 = 0.0901 = 9.01%. Proporcin de adultosgraduados universitariosp = 0.7 graduados universitarios.Media = n* p = ( 200 ) * ( 0.7 ) = 140 . = n * p * q = 200 * 0.7 * 0.3 =6.4807Desviacin estndarNecesitamos conocer el rea bajo la curvanormal entre 110 x 130 110 - 0.5 y 130 + 0.5 109.5 y 130.5 Z=z=y109.5 140 4.71 6.480yz=130.5 140 1.47 6.480 = P(error tipo II)=P(110 < x < 130 | p = 0.7) = P(-4.71< z < -1.47) = P(z-1.47) P(z -4.71) = = 0.0708 0 = 0.0708 = 7.08%. Respuesta: Laprobabilidad de cometer un error tipo II con p = 0.5 es del 9.01%.La probabilidad de cometer un error tipo II con p = 0.7 es del7.08%. c) Incgnita: Es este un buen procedimiento de prueba?Solucin: Para este procedimiento la probabilidad de cometer unerror Tipo I es algo alto, aunque se reduce dramticamente laprobabilidad de cometer un error Tipo II.Problema 34 (Ref: Pg. 305Ej. 12) Se pregunta a una muestra aleatoria de 400 votantes encierta ciudad si estn a favor de un impuesto adicional de 4% sobrela venta de gasolina para proporcionar ingresos que se necesitancon urgencia para la reparacin de calles. Si ms de 220 pero menosde 260 favorecen el impuesto sobre ventas, concluiremos que 60% delos votantes lo apoyan. a) Encuentre la probabilidad de cometer unerror tipo I si 60% de los votantes estn a favor del aumento deimpuestos. Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 50 de 10451. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 deAgosto de 2008b) Cul es la probabilidad de cometer un error de tipoII al utilizar este procedimiento de prueba si en realidad slo 48%de los votantes est a favor del impuesto adicional a la gasolina?Datos: P : votantes de una cierta ciudad. p : proporcin de votantesa favor del impuesto. X : un votante de esa ciudad. Tamao de lamuestra n = 400 votantes. Regin de aceptacin 220 < x < 260221 Hiptesis nula Hiptesis alternativax 259 votantes que favorecenel impuesto.H 0: p = 0.6. H1: p 0.6.a) Incgnita: Probabilidad deerror tipo I, Solucin: Proporcin de votantes a favor del impuestop= 0.6 votantes a favor del impuesto.Media = n*p = (400)*(0.6) =240.Desviacin estndar=n* p*q =( 400) * ( 0.6) * ( 0.4)9.79Necesitamos conocer el rea bajo la curva normal entre 221 x 259221 - 0.5 y 259 + 0.5 220.5 y 259.5 Z=z=y 220.5 240 1.999.79yz=259.5 240 1.99 9.79 = P(error tipo I) = P(221 > x >259 | p = 0.6) = P( x < 221 | p = 0.6) + P( x > 259 | p =0.6) = =P(z < -1.99) + P(z < 1.99) = (2)*(0.0233) = 0.0466 =4.66%. Respuesta: La probabilidad de cometer un error tipo I con p= 0.6 es del 4.66%.b) Incgnita: Probabilidad de error tipo II,Solucin:Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 51 de 10452. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 deAgosto de 2008Proporcin de adultos graduados universitariosp = 0.48graduados universitarios.Media = n*p = (400)*(0.48) = 192.Desviacinestndar=n* p*q =( 400 ) * ( 0.48) * ( 0.52)9.99Necesitamos conocerel rea bajo la curva normal entre 220.5 y 259.5 Z=z=y 220.5 1922.85 9.99yz=259.5 192 6.75 9.99 = P(error tipo II) =P(221 < x< 259 | p = 0.48) = P(2.85< z < 6.75) = P(z 6.75) P(z2.85) = =1 0.9978 = 0.0022 = 0.22%. Respuesta: La probabilidad decometer un error tipo II con p = 0.48 es del 0.22%.Problema 35(Ref: Pg. 305 Ej. 13) Suponga que, en el ejercicio 12, concluimosque 60% de los votantes est a favor del impuesto a la venta degasolina si ms de 214 pero menos de 266 votantes de nuestra muestralo favorece. Muestre que esta nueva regin de aceptacin tiene comoresultado un valor ms pequeo para a costa de aumentar . Datos:Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 52 de 104 53.Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de2008Tamao de la muestra Regin de aceptacinn = 400 votantes. 214< x < 266 215 Hiptesis nula Hiptesis alternativax 265votantes que favorecen el impuesto.H 0: p = 0.6. H1: p 0.6.a)Incgnita: Probabilidad de error tipo I, Solucin: Proporcin devotantes a favor del impuesto p = 0.6 votantes a favor delimpuesto. Media = n*p = (400)*(0.6) = 240. Desviacin estndar = n *p * q = ( 400 ) * ( 0.6 ) * ( 0.4) 9.79 Necesitamos conocer el reabajo la curva normal entre 215 x 265 215 - 0.5 y 265 + 0.5 214.5 y265.5Z=y z=214.5 240 2.60 y 9.79z=265.5 240 2.60 9.79 = P(errortipo I) = P(214 > x > 266, cuando p = 0.6) = (2)*P(z x > 209) = (2)*P(z < -1.80) = (2)*(0.0359) =0.0718 = 7.18%. Respuesta: La probabilidad de cometer un error tipoI con es del 7.18%. b) Incgnita: Probabilidad de error tipo II,Solucin: Media = 215 mililitros. Necesitamos conocer el rea bajo lacurva normal entre 191 y 209 z=191 215 = -4.80 5yz=X ~ N( x = 200,x = 15)209 215 = -1.20 5 = P(error tipo II) =P(191 < x < 209)=P(-4.80 z -1.20) = P(z -1.20) P(z -4.80) = = 0.1151 0 = 0.1151 =11.51%. Respuesta: La probabilidad de cometer un error tipo II esdel 11.51%. Problema 37 (Ref: Pg. 325 Ej. 1) Una empresa elctricafabrica focos que tienen una duracin que se distribuye de formaaproximadamente normal con una media de 800 horas y una desviacinestndar de 40 horas. Prueba la hiptesis de que = 800 horas contrala alternativa de que 800 horas si una muestra aleatoria de 30focos tiene una duracin promedio de 788 horas. Utilice un nivel designificancia de 0.04. Datos: P : focos fabricados en ciertaempresa elctrica. Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 54de 104 55. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6de Agosto de 2008X : duracin en horas de un foco fabricado en esaempresa elctrica. Tamao de la muestra n = 30 focos. Desviacinestndar poblacional = 40 horas. Media muestral x = 788 horas. 40 x= x = 7.30 mililitros. Desviacin estndar muestral n 30 Nivel designificancia = 0.04 Hiptesis nula Hiptesis alternativaH0: = 800horas. H1: 800 horas.X ~ N ( x = 788, x = 40 )Incgnita: Rechazo oaceptacin de la hiptesis nula. Solucin: Es conveniente estandarizarX e incluir de manera formal la variable aleatoria normal estndarZ, dondez=z=X n788 800 =-1.64 7.30Si z < z < z , no serechaza H0. 22 z 0.04 < z < z 0.04 22 z 0.02 < z < z0.02Aplicando Tabla A.3. 2.055 < z < 2.055 Respuesta: Norechazamos la hiptesis nula ya que el valor de z hallado seencuentra dentro de la regin de no rechazo.Problema 38 (Ref: Pg.326 Ej. 5) Se afirma que un automvil se maneja en promedio ms de20000 kilmetros por ao. Para probar esta afirmacin, se pide a unamuestra de 100 propietarios de automviles que lleven un registro delos kilmetros que viajen. Est de acuerdo con esta afirmacin si lamuestra aleatoria muestra un promedio de 23500 kilmetros y unadesviacin estndar de 3900 kilmetros?. Utilice un valor P en suconclusin.Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 55 de 10456. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 deAgosto de 2008Datos: Tamao de la muestra Media muestral Desviacinestndar muestraln = 100 automviles. x = 23500 kilmetros. x = 3900kilmetros.Hiptesis nula Hiptesis alternativaH0: 20000 kilmetros.H1: > 20000 kilmetros.Incgnita: Rechazo o aceptacin de lahiptesis nula. Solucin: Es conveniente estandarizar X e incluir demanera formal la variable aleatoria normal estndar Z, dondez=z=Xn23500 20000 = 8.97. 3900 / 100P= P(Z > 8.97)1-1 = 0Respuesta:Rechazamos la hiptesis nula y concluimos que 20000Kilmetros.Problema 39 (Ref: Pg. 326 Ej. 7 ligado al Ej. 1 Pg. 339)a) Ref. Pg. 326 Ej. 7 Pruebe la hiptesis de que el contenidopromedio de los envases de un lubricante particular es de 10 litrossi los contenidos de una muestra aleatoria de 10 envases son 10.2,9.7, 10.1, 10.3, 10.1, 9.8, 9.9, 10.4, 10.3 y 9.8 litros. Utiliceun nivel de significancia de 0.01 y suponga que la distribucin delcontenido es normal. b) Ref. Pg. 339 Ej.1 Lafata Desio Fernando,Warlet Ivn LautaroPgina 56 de 104 57. Ctedra: Probabilidad yEstadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Se sabe que elvolumen de los envases de un lubricante particular se distribuyenormalmente con una varianza de 0.03 litros. Pruebe la hiptesis deque 2 = 0.03 contra la alternativa de que 2 0.03 para la muestraaleatoria de 10 envases del ejercicio 7 de la pgina 326. Use unnivel de significanca de 0.01. a) Ref. Pg. 326 Ej. 7 Datos: P :envases de un lubricante. X : contenido en litros de un envase deese lubricante. Tamao de la muestra n = 10 envases. nMediamuestralx=Xii =1n10.2 + 9.7 + 10.1 + 10.3 + 10.1 + 9.8 + 9.9 + 10.4+ 10.3 + 9.8 = = 10.06 litros. 10 nDesviacin estndar muestrals= =s=(X i =1i X)2n 1(10.2 10.06 )2 + (9.7 10.06) 2 + (10.1 10.06) 2 +(10.3 10.06) 2 + (10.1 10.06) 2 + (9.8 10.06) 2 + (9.9 10.06 9(0.14)2 + ( 0.36 )2 + ( 0.04 )2 + ( 0.24 )2 + (0.04)2 + ( 0.26 )2 + (0.16 )2 + (0.34)2 + ( 0.24 ) 2 + ( 0.26 )2 9Nivel de significancia= 0.01Hiptesis nula Hiptesis alternativaH0: = 10 litros. H1: 10litros.Incgnita: Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula.Solucin:X t= s n Si t 2 t 0.01, n 12,9t=< t < t2< t < t0.01, n 1 ,210.06 10 = 0.7722 . 0.0777no se rechaza H0.,9 t 0.005,9< t < t 0.005,9 Aplicando Tabla A.4.- 3.250 < t < 3.250Respuesta: No rechazamos la hiptesis nula ya que el valor de thallado se encuentra dentro de la regin de No Rechazo. b) Ref. Pg.339 Ej.1 Datos:Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 57 de104= 58. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 deAgosto de 2008Tamao de la muestran = 10 envases. nMedia muestralx=Xi =1i=n10.2 + 9.7 + 10.1 + 10.3 + 10.1 + 9.8 + 9.9 + 10.4 + 10.3 +9.8 = 10.06 10litros. nDesviacin estndar muestral(10.2 10.06 )s ==2s=+ (9.7 10.06)2 (X i =1i X)2n 1+ (10.1 10.06)2+ (10.3 10.06)2+(10.1 10.06)2+ (9.8 10.06)2+ (9.9 10.069(0.14 )2 + ( 0.36 )2 + (0.04 )2 + ( 0.24 )2 + (0.04 )2 + ( 0.26 )2 + ( 0.16 )2 + ( 0.34 )2+ ( 0.24 ) 2 + ( 0.26 )2 9Nivel de significancia = 0.01 H0: 2 =0.03 litros. H1: 2 0.03 litros.Hiptesis nula HiptesisalternativaIncgnita: Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula.Solucin: x2 =x2 =( n 1) * s 2 2(10 1) * ( 0.2458) 2 0.03=( 9 ) * (0.0604 ) 0.03=0.5436 18.13 0.032 Si = 18.13 cuando v = 10 1 = 9grados de libertadSegn Tabla A.5 => 0.025 < P(2 >18.13)< 0.05 Respuesta: No rechazamos la hiptesis nula ya que lamuestra de 10 envases no es suficiente para mostrar que 2 no esigual a 0.03.Problema 40 (Ref: Pg. 326 Ej. 12) Una muestraaleatoria de tamao n1 = 25, que se toma de una poblacin normal conuna desviacin estndar 1 = 5.2, tiene una media x 1 = 81. Unasegunda muestra aleatoria de tamao n2 = 36, que se Lafata DesioFernando, Warlet Ivn LautaroPgina 58 de 104= 59. Ctedra:Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de2008toma de una poblacin normal diferente con una desviacin estndar2 = 3.4, tiene una media x 2 = 76. Pruebe la hiptesis de que 1 = 2contra la alternativa 1 2. Cite un valor P en su conclusin. Datos:Tamao de la primer muestra Desviacin estndar de la primer poblacinMedia de la primer muestran1 = 25. 1= 5.2. x 1 = 81.X 1 ~ N x1 =81, x1 = 5.2Tamao de la segunda muestra Desviacin estndar de lasegunda poblacin Media de la segunda muestran2 = 36. 2 = 3.4. x 2 =76.X 2 ~ N x 2 = 76, x 2 = 3.4Hiptesis nula Hiptesisalternativa()()H0: 1 = 2. H 1: 1 2.Incgnita: Rechazo o No Rechazode la hiptesis nula. Solucin:z=z=(X1 X 2 ) ( 1 2 ) 2 1 2 + 2 n1 n2( 81 76) ( 0) 27.04 11.56 + 25 36p = P(z > 4.222)=5 4.2221.1841-1 = 0Respuesta: Rechazamos la hiptesis nula ya que laprobabilidad de que ocurra es aproximadamente del 0%.Problema 41(Ref: Pg. 327 Ej. 18 ligado al Ej. 9 Pg. 340) a)Ref. Pg. 327Ej.18Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 59 de 104 60.Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de2008Una compaa armadora de automviles trata de decidir si comprallantas de la marca A o de la B para sus modelos nuevos. Se lleva acabo un experimento, para ayudar a llegar a una decisin, en el quese usan 12 llantas de cada marca. Las llantas se utilizan hasta quese acaban. Los resultados son: x 1 = 37900 kilmetros. s1 = 5100kilmetros. x 2 = 39800 kilmetros. s2 = 5900 kilmetros.Marca A:Marca B:Prueba la hiptesis de que no hay diferencias en las dosmarcas de llantas con un nivel de significancia de 0.05. Supongaque las poblaciones se distribuyen de forma aproximadamente normalcon varianzas iguales. b) Ref. Pg. 340 Ej.9 Con referencia alejercicio 18 de la pgina 327, pruebe la hiptesis de que 1 = 2contra la alternativa de que 1 < 2, donde 1 y 2 son lasdesviaciones estndar de las distancias que se obtienen por lasllantas marca A y marca B, respectivamente. Utilice un nivel designificancia de 0.05. a)Ref. Pg. 327 Ej.18 Datos: Tamao de laprimer muestra Tamao de la segunda muestra Desviacin estndar de laprimer muestra Desviacin estndar de la segunda muestra Media de laprimer muestra Media de la segunda muestra Hiptesis nula Hiptesisalternativan1 = 12 llantas. n2 = 12 llantas. s1= 5100 Km. s2 = 5900Km. x 1 = 37900 Km. x 2 = 39800 Km.H0: 1 = 2. H1: 1 2.Nivel designificancia = 0.05Incgnita: Rechazo o No Rechazo de la hiptesisnula. Solucin:( s ) * ( n 1) + ( s ) * ( n 2 1sp =2 212 1)n1 + n22Con nuestros datos:sp =( 26010000) * (11) + ( 34810000) * (11) 12+ 12 2 X 2 ) ( 1 2 ) 1 1 sp + n1 n 2 Lafata Desio Fernando, WarletIvn Lautaro t==286110000 + 382910000 669020000 = = 5514.52 Km. 2222(X1Pgina 60 de 104 61. Ctedra: Probabilidad y EstadsticaUADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Con nuestros datos:t=( 3790039800) ( 0) 1 1 + 12 125514.52 Si t 2, n1 + n 2 2 t 0.052< t< t,12 +12 22= 1900 1900 = 0.84 ( 5514.52 )( 0.408) 2249.92,n1 +n 2 2< t < t 0.052, no se rechaza H0.,12 +12 2 t 0.025, 22< t < t 0.025, 22 Aplicando Tabla A.4. 2.074 < t 2.82 f < 0.35 , dondef =s1s2 2, con v1 = 11 y v1 = 11grados de libertad. con nuestrosdatos:S12 = ( 5100 ) = 26010000km. 2y por ello f =2 S 2 = ( 5900 )= 34810000km. 223010000 = 0.7472 34810000Respuesta: Rechazamos lahiptesis nula, para 12 = 22 , ya que el valor de f hallado es f< 0.35, 0.7472 < 0.35. Problema 42 (Ref: Pg. 328 Ej. 21ligado al Ej. 10 Pg. 340) Lafata Desio Fernando, Warlet IvnLautaroPgina 62 de 104 63. Ctedra: Probabilidad y EstadsticaUADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008a)Ref. Pg. 328 Ej. 21 Lossiguientes datos representan los tiempos de duracin de pelculasproducidas por dos compaas cinematogrficas: Compaa 1 2Tiempo(minutos) 102 86 98 109 92 81 165 97 134 92 87 114Pruebe lahiptesis de que el tiempo de duracin promedio de las pelculasproducidas por la compaa 2 excede el tiempo promedio de duracin dela que produce la compaa 1 en 10 minutos, contra la alternativaunilateral de que la diferencia es de ms de 10 minutos. Utilice unnivel de significancia de 0.1 y suponga que las distribuciones delos tiempos son aproximadamente normales con varianzas iguales. b)Ref. Pg. 340 Ej. 10 Con referencia al ejercicio 21 de la pgina 328,pruebe la hiptesis de que 21 = 22 contra la alternativa de que 2122, donde 21 y 22 son las varianzas para los tiempos de duracin depelculas producidas por la compaa 1 y la compaa 2, respectivamente.Utilice un nivel de significancia de 0.10. a)Ref. Pg. 328 Ej. 21Datos: X1 : tiempo de duracin en minutos de una pelcula producidapor la compaa 1. X2 : tiempo de duracin en minutos de una pelculaproducida por la compaa 2. Tamao de la primer muestra n1 = 5pelculas. Tamao de la segunda muestra n2 = 7 pelculas. nMedia de laprimer muestrax1 =Xi=i =1n1102 + 86 + 98 + 109 + 92 = 97.4 minutos.5nMedia de la segunda muestra(X 1 ~ N x1 = 97.4, x1 = 19.86x2 =Xii=1=n281 + 165 + 97 + 134 + 92 + 87 + 114 = 110. minutos. 7)(X 2 ~ Nx 2 = 110, x 2 = 79.95nDesviacin estndar de la primer muestras1 ==s1 = (X i =1i X)2n1 1(102 97.4) 2 + (86 97.4) 2 + (98 97.4) 2 +(109 97.4) 2 + (92 97.4) 2 4( 4.6 ) 2 + ( 11.4) 2 + ( 0.6 ) 2 +(11.6) 2 + ( - 5.4) 2 4Lafata Desio Fernando, Warlet IvnLautaro=)315.2 4== 78.8 = 8.87minutosPgina 63 de 104 64. Ctedra:Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008 (XnDesviacin estndar de la segunda muestras2 =s2 =i =1 X)2n2 1( 81110 ) 2 + (165 110)2 + (97 110) 2 + (134 110)2 + (92 110)2 + (87110)2 + (114 110) 2 6( - 29) 2 + ( 55) 2 + ( - 13) 2 + ( 24) 2 + (- 18) 2 + ( 23) ) 2 + ( 4) 2=i6=Hiptesis nula Hiptesisalternativa6= 913.3 = 30.22 min utosH0: 2 - 1 10 minutos. H1: 2 - 1> 10 minutos.Nivel de significancia5480= = 0.1Incgnita: Rechazoo No Rechazo de la hiptesis nula. Solucin:t=(X2 X1 ) ( 2 1 ) 2 s 2s1 2 + n 2 n1con nuestros datos:t=(110 97.4) (10 ) 913.24 78.67 + 75Si t 2,< t < t2,=12.6 10 130.46 + 15.73=2.6 146.19=2.6 0.2212.09, no se rechaza H0.Con( s12 n1 + s22 n2 ) 2 = ( 78.68 5 +913.25 7) 2 = (15.74 + 130.46) 2 = ( s12 n1 ) 2 + ( s22 n2 ) 2 (78.68 5) 2 + ( 913.25 7) 2 (15.74) 2 + (130.46) 2 n1 1=( 146.2) 2247.75 17019.81 + 4 6entonces: t 0.151n2 12,7=21374.44 61.90 +2836.75< t < t 0.1271=21374.44 2898.6546 7.38 = 7,7t 0.05, 7< t < t 0.05, 7 Aplicando Tabla A.4. 2.998 < t 4.53 f< 0.16 , dondes12 f =s2 2, con v1 = 4 y v1 = 6grados delibertad. con nuestros datos:S12 = ( 8.87 ) = 78.7 min utos.2Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaroy2 S 2 = ( 30.22) =913.25 min utos. 2Pgina 66 de 104 67. Ctedra: Probabilidad yEstadstica UADERy por ello f =Trabajo Final 6 de Agosto de 200878.7= 0.09 913.25Respuesta: Rechazamos la hiptesis nula, para 12 = 22 ,ya que el valor de f hallado es f < 0.16, 0.09 < 0.16.Problema 43 (Ref: Pg. 335 Ej. 6) En cierta universidad se estimaque a lo ms 25% de los estudiantes van en bicicleta a la escuela.Esta parece ser una estimacin valida si, en una muestra aleatoriade 90 estudiantes universitarios, se encuentra que 28 van enbicicleta a la escuela?. Utilice un nivel de significancia de 0.05.Datos: P : estudiantes de cierta universidad. X : un estudiante deesa universidad. Tamao de la muestra n = 90 estudiantes. Cantidadde estudiantes que van en bicicleta x = 28 estudiantes. Proporcinde estudiantes que en bicicleta p = 0.25 q = 0.75 Proporcin deestudiantes que no andan en bicicleta Media = n*p = (90)*(0.25) =22.5 estudiantes. Desviacin estndar = n * p * q = ( 90) * ( 0.25) *( 0.75) 4.10 estudiantes. X ~ N( x = 22.5, x = 4.10)Hiptesis nulaHiptesis alternativaH0: p 0.25. H1: p > 0.25.Nivel designificancia = 0.05Incgnita: Rechazo o No Rechazo de la hiptesisnula. Solucin: Rechazamos H0 si Z < -1.64 siendo Z=x Connuestros datos: Z =28 22.5 = 1.338877 1.34 4.107919P = P( Z >1.34 ) = 1 ( Z 1.34 ) = 1 0.909 = 0.091 = 9.1%Respuesta: Norechazamos la hiptesis nula ya que no hay suficiente evidencia paraconcluir que P> 0.25.Lafata Desio Fernando, Warlet IvnLautaroPgina 67 de 104 68. Ctedra: Probabilidad y EstadsticaUADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Problema 44 (Ref: Pg. 335 Ej.9) En un estudio para estimar la proporcin de residentes de ciertaciudad y sus suburbios que estn a favor de la construccin de unaplanta de energa nuclear, se encuentra que 63 de 100 residentesurbanos estn a favor de la construccin mientras que solo 59 de 125residentes suburbanos la favorecen. Hay una diferenciasignificativa entre la proporcin de residentes urbanos y suburbanosque favorecen la construccin de la planta nuclear?. Use un valor P.Datos: P1 : residentes urbanos de cierta ciudad. P2 : residentessuburbanos de cierta ciudad. p1 : proporcin de residentes urbanos afavor de la construccin de una planta de energa nuclear. p2 :proporcin de residentes suburbanos a favor de la construccin de unaplanta de energa nuclear. Tamao de la primer muestra n1 = 100residentes urbanos. Tamao de la segunda muestra n2 = 125 residentessuburbanos. Cantidad de urbanos a favor x1 = 63 residentes urbanos.Cantidad de suburbanos a favor x2 = 59 residentes suburbanos. x 63p1 = 1 = = 0.63 Proporcin de urbanos a favor n 1 100x2 59 = = 0.472n 2 125 x + x2 63 + 59 122 p= 1 = = = 0.542 Combinacin de lasproporciones n 1 + n 2 100 + 125 225 Hiptesis nula H0: p1 = p2.Hiptesis alternativa H1: p1 p2. Proporcin de suburbanos a favor p2=Incgnita: Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula. Solucin:Utilizamos la aproximacin normalz=z= p1 p2 pq[ (1 n1 ) + (1 n2 ) ]0.63 0.472( 0.542)( 0.458) 1 1 + 100 125 =0.158( 0.542)( 0.458)(0.018)=0.158 0.0044=0.158 = 2.36 0.066P(z > 2.36 ) = 2* P(z >2.36) = 2*(1 0.9909) = 0.0182 = 1.82% Respuesta:Lafata DesioFernando, Warlet Ivn LautaroPgina 68 de 104 69. Ctedra:Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de2008Rechazamos la hiptesis nula ya que hay una probabilidad de queocurra del 1.82%. La proporcin de los residentes urbanos a favor dela construccin de una planta de energa nuclear es mayor que laproporcin de los residentes suburbanos a favor de la construccin dedicha planta.Problema 45 (Ref: Pg. 335/336 Ej. 10) En un estudiosobre la fertilidad de mujeres casadas por Martn O`Connell yCarolyn C. Rogers para la